주사위는 지난 결과를 기억하지 않는다

동전은 기억이 없다

동전을 던져 앞면이 다섯 번 연속 나왔다고 해도, 다음 던지기에서 앞면이 나올 확률은 여전히 절반입니다. 동전에는 지난 결과를 저장하는 장치가 없기 때문입니다. 그런데 사람은 균형이 맞춰져야 한다고 느끼고, 이 느낌을 근거로 판단합니다. 이것을 도박사의 오류라고 부릅니다. 동전이 정상이라는 전제가 있다면, 연속 기록은 다음 결과에 대해 아무것도 알려 주지 않습니다.

그런데 왜 결국 절반이 되나

많이 던지면 앞면 비율이 절반에 가까워지는 것은 사실입니다. 다만 그것은 지금까지의 치우침을 앞으로 보상해서가 아니라, 시행 횟수가 늘면서 초반의 치우침이 전체에서 차지하는 비중이 작아지기 때문입니다. 다섯 번의 연속은 사라지지 않고, 그냥 묻힙니다. 이 차이를 구분하면 판단이 달라집니다.

1% 확률이 실제로 뜻하는 것

뽑기 확률이 1%라면 100번쯤 하면 한 번은 나올 것처럼 느껴집니다. 실제로는 100번을 해도 한 번도 안 나올 확률이 3분의 1이 넘습니다. 낮은 확률의 시행은 기대 횟수도 크지만 편차가 훨씬 커서, 평균만 보고 계획하면 크게 어긋납니다.

• 1% 확률로 100번: 한 번도 안 나올 확률 약 37%
• 1% 확률로 200번: 약 13%
• '평균 100번'은 절반이 100번 안에 나온다는 뜻이 아니다
• 천장(보장) 제도가 있으면 계산이 완전히 달라진다

무작위처럼 보이는 것과 무작위인 것

사람은 진짜 무작위 수열을 보면 '뭉쳐 있어서' 무작위 같지 않다고 느낍니다. 실제 무작위에는 연속된 구간이 자연스럽게 생기기 때문입니다. 반대로 사람이 일부러 만든 '무작위처럼 보이는' 수열은 연속이 지나치게 적습니다. 어떤 결과가 이상해 보인다는 느낌은 조작의 근거가 되지 못합니다. 실제로 사람에게 동전 던지기 결과를 지어내 보라고 하면 같은 면이 길게 이어지는 구간을 거의 쓰지 않습니다.

게임에서 실제로 쓸 수 있는 결론

확률이 붙은 게임에서 통하는 원칙은 단순합니다. 지난 결과로 다음을 예측하지 말 것, 낮은 확률에는 평균이 아니라 최악에 가까운 경우를 기준으로 계획할 것, 그리고 시작 전에 한도를 정할 것입니다. 이 글은 확률이 작동하는 방식을 설명하는 것이고, 어떤 게임을 얼마나 하라는 이야기는 아닙니다.

뜨거운 손이라는 착각

도박사의 오류와 반대 방향의 착각도 있습니다. 연속으로 성공하면 지금 운이 좋은 흐름이니 계속될 것이라고 믿는 것입니다. 사람이 하는 운동 경기처럼 실력과 컨디션이 작용하는 상황에서는 이런 흐름이 일부 있을 수 있다는 연구도 있지만, 동전·주사위·뽑기처럼 결과가 독립적인 시행에서는 그런 흐름이 존재하지 않습니다. 지난 결과로 다음을 점치는 것은 어느 방향이든 같은 오류입니다.

• 도박사의 오류: 이제 반대가 나올 차례라고 믿는다
• 뜨거운 손 착각: 지금 흐름이 계속될 것이라고 믿는다
• 독립 시행에서는 둘 다 근거가 없다
• 실력이 개입하는 경우와 구분해서 생각한다

생일 문제로 보는 직관의 한계

한 방에 몇 명이 모이면 생일이 같은 두 사람이 있을 확률이 절반을 넘을까요. 많은 사람이 백 명 이상을 떠올리지만, 실제로는 23명이면 절반을 넘습니다. 직관은 나와 생일이 같은 사람을 찾는 문제로 바꿔 생각하지만, 실제 문제는 아무 두 사람이나 같으면 되므로 비교하는 쌍의 수가 사람 수보다 훨씬 빨리 늘어납니다. 우연의 일치처럼 보이는 일 중 상당수가 이런 식으로 생각보다 흔합니다.

확률을 체감으로 익히는 방법

확률은 공식보다 직접 해 보는 것이 이해가 빠릅니다. 동전을 스무 번 던져 기록해 보면, 같은 면이 네다섯 번 이어지는 구간이 생각보다 자주 나온다는 것을 알 수 있습니다. 무작위 추첨 도구로 같은 조건을 여러 번 반복해 결과를 세어 보는 것도 좋은 방법입니다. 몇 번만 할 때는 들쭉날쭉하던 비율이 횟수가 늘수록 이론값 근처로 모이는 과정을 눈으로 보면, 평균과 편차의 차이가 감각으로 남습니다.

• 동전 20번 던지기를 기록하고 연속 구간을 세어 보기
• 같은 추첨을 10번, 100번 반복해 비율 비교
• 직감으로 예상한 값을 먼저 적고 결과와 비교
• 결과가 이상해 보여도 횟수를 늘려 다시 확인